在这家单位2019年5月份入职，入职时没签劳动合同，2020年1月找代缴公司给我交了社保。2022年

在这家单位2019年5月份入职，入职时没签劳动合同，2020年1月找代缴公司给我交了社保。2022年2月4日公司在没有事先通知我的情况下，口头通知我明天不用来上班了，并让我签离职书和交接单（交接单我签了但离职书我没签）。2月9号我找代缴公司帮我办理了失业金(所需的劳动合同解除证明盖的是工作单位的公章），但和代缴公司沟通中得知，工作单位与代缴公司只有社保代缴协议，没有劳动合同，在代缴公司还手写了一份“此劳动合同解除证明只用于办理失业金，与这家代缴公司无劳动合同之类的”。像我这种情况属于与工作单位没有签订劳动合同吗？我可以申请劳动仲裁要求赔偿无劳动合同期间双倍的工资以及无故辞退员工是赔偿金吗？