可以要求。

可以要求！建议先通过仲裁途径解决。作为长期办理各类劳动纠纷案件的重庆专业律师、民法硕士，如果您需要，我们最好当面为您解决问题，电话 13709422601 张律师

1.收集好在用人单位上班的证据如工资卡、工作证、服务证等能够证明身份的证件、招聘“登记表”、“报名表”等招用记录；
2.提前30日书面通知用人单位（保存好用人单位签收的证据）解除劳动关系，然后离开。
3.要求用人单位支付因未签署劳动合同的12个月的工资差额。

　《中华人民共和国劳动合同法实施条例》
第七条　用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日应当依照劳动合同法第八十二条的规定向劳动者每月支付两倍的工资，并视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，应当立即与劳动者补订书面劳动合同。

其实你和这家企业已经建立了无固定期限的劳动合同。你可以要求对方给你经济赔偿金。