双方意思一致才有效。单方不能解除。

在和原单位尚未解除劳动合同之前，是不能和新单位缔结新的劳动合同关系，应该是正式进入新单位处才与新单位签订正式的劳动合同。你的这种情况，签订的应该不是一个月后开始执行的劳动合同，而是一种预合同，也就是保证将来签订正式合同的一种意向合同。如果单方解除这种合同，给对方造成一定损失的，可能要负赔偿责任。

可以，提前一个月书面通知原单位即可解除合同。