我是今年7月毕业的大学生，今年4.16的时候找到了实习单位，当时公司以未毕业为由，让我签订了4.16

我是今年7月毕业的大学生，今年4.16的时候找到了实习单位，当时公司以未毕业为由，让我签订了4.16日到6.30日的实习协议，实习协议上有写协议合同的期限是到6月31日止，实习协议到期后还是继续在公司工作的，提前转正的时间为6.12日，但是转正之后公司依旧没有给我签订劳动合同，6月份的社保要求过补交，但是公司以社保补缴时间已过为由也没有交。自己在8月24日的时候提了离职，申请的离职时间是9.30号，我现在可以以未签订劳动合同为由申请劳动仲裁要求公司双倍赔偿工资吗？社保可以要求补缴6月份的吗？可以赔偿哪几个月的呢？