可以要求。

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可以要求公司支付赔偿金

劳动者已在该用人单位连续工作满十年的，劳动者提出签订无固定期限合同，用人单位应与劳动者签订无固定期限合同；用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。