公司该不该承当相应的责任?
公司没有与你签订劳动合同,你可以直接向劳动仲裁委申请仲裁,要求公司支付你双倍工资。至于你在工作中发生交通事故造成他人受伤,你的行为属于职务行为,应由公司承担责任。
如果开车的人也是公司的员工,那应该属于工伤,他可以直接向单位主张相应的工伤待遇。