一个月的补偿金

公司说法正确。续签半年只是合同期限长短问题，到期后仍面临现在的问题。

都可以啦  

建议你还是继签。

如果你选择终止，请勿在任何书面上签字，否则就是变你同意终止，当然也就拿不到任何补偿。

选择终止能够拿到一个月的补偿金。