完全可以。

1、你这种情应该是视为无固定期限合同情形，如果公司要和你签劳动合同应该是无固定期限合同
2、医社保问题，如果你还在职你可以向单位要求或找劳动监察部门举报；如果你已经离职你可以提请劳动仲裁。

可以投诉。

你好！可以向劳动局投诉要求补交。