可以跟两家单位同时签订劳动合同吗？（非临时工） 我们先注册了两家公司（两个独立的法律主体），一名员工与老公司签订了为时两年的固定期限合同（2008年——2009年12月），并交纳综合保险。
中途（2008年8月）新公司成立，我单位把他转到了新公司用工，缴纳保险。但没有与上家终止合同，也没有与下家签订新的劳动合同。
2009年该员工自动离职，他申请仲裁，要求老公司付他经济补偿金，（他本人并没有搞清两个公司之间的关系），以及剩余工资。劳动部门认为他没有足够的证据证明自己的诉求，因为他提供了虚假的病假条，没有支持他，做出了裁决。
请问：他还可以再向新公司申请仲裁吗（未签订劳动合同）