供应商应当承担责任，如果是职务行为，你们公司应当承担责任后可以再向供应商追偿

该员工可以申请工伤认定，构成工伤的，应当获得工伤保险理赔，你们公司应当承担工伤责任。
当然，该员工也可以向供应商的司机和供应商要求人身损害赔偿，供应商应当承担赔偿责任。
对于工伤和人身损害赔偿，员工有权选择，但不能获得双份赔偿，只能选择一种。
如果其中一种不足以赔偿的，可以选择另一种做补偿赔偿。

向供货商主张赔偿，如果是基于工作原因造成的可以申请工伤待遇

员工算工伤，可先行工伤认定，再伤残鉴定，然后处理赔偿。
如单位交社保的，由社保承担，如单位未交社保的，由单位承担。

你单位和供应商都有赔偿责任，关键要看从哪个角度考虑和主张。具体情况可以联系我面谈。

供应商应当承担赔偿责任，如需帮助，可以电话联系。