你好，简单提供如下意见，供参考：
    一、首先，你与公司间系劳动关系而非劳务关系，二者有严格区分，法律后果有很大不同，从案情看，虽然你所在公司为私营企业，但需劳动关系应系确定无疑的。
    二、其次，2010年12月至2012年3月21日在公司工作，公司未与你签订劳动合同违反了《劳动合同法》第十条规定，根据《劳动合同法》第八十二条及《劳动合同法实施条例》第七条的规定可要求自2011年1月至2011年11月期间共11个月的双倍工资，自2011年12月起，根据《劳动合同法》第十四条第三款、《劳动合同法实施条例》第七条，应视为你与公司间已订立无固定期限的劳动合同了。但是根据《劳动争议调解仲裁法》规定，劳动仲裁的时效期间为自知道或者应当知道权益被侵害之日起1年（追索劳动报酬的不受一年限制，但双倍工资不属于劳动报酬范畴），因现在是2012年3月了，你可能面临仲裁时效的障碍不能得到全部的双倍工资了，但各地劳动争议仲裁委员会做法不尽一致，个别的认为自你在该公司工作之日或者工作之日后第二个月起算一年应至2011年12月或2012年1月止而认为超过了一年的时效而不予主张双倍工资了，但多数地方是按月份起算一年时间的，比如，你现在2012年3月申请劳动仲裁要求双倍工资，那么前推一年时间到2011年4月，也就是说，自2011年4月至2011年11月期间共8个月的双倍工资得到支持。（根据《劳动合同法实施条例》第七条规定，对超过工作后一年的时间未予签订劳动合同的，则视为已签订无固定期限的劳动合同，但双倍工资只能要求你工作一年期满前的双倍工资，也就是说，自2011年12月期间的双倍工资不会支持你了，故应算到2011年11月）。当然如果你有证据证明在时效期间的一年内一直向单位主张的，则发生时效中断，时效期间重新计算一年，这样在未满一年内的11个月工资就可全部主张了。
    附：有关法律依据
    《劳动合同法》第十条　建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。
    已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
    第十四条第三款  用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
    第八十二条　用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
    用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
    《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第七条　用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日应当依照劳动合同法第八十二条的规定向劳动者每月支付两倍的工资，并视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，应当立即与劳动者补订书面劳动合同。
    《劳动争议调解仲裁法》
    第二十七条 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。
    前款规定的仲裁时效，因当事人一方向对方当事人主张权利，或者向有关部门请求权利救济，或者对方当事人同意履行义务而中断。从中断时起，仲裁时效期间重新计算。
    因不可抗力或者有其他正当理由，当事人不能在本条第一款规定的仲裁时效期间申请仲裁的，仲裁时效中止。从中止时效的原因消除之日起，仲裁时效期间继续计算。
    劳动关系存续期间因拖欠劳动报酬发生争议的，劳动者申请仲裁不受本条第一款规定的仲裁时效期间的限制；但是，劳动关系终止的，应当自劳动关系终止之日起一年内提出。
    三、再次，公司开除你违反规定劳动法律规定。
    如前，因你与公司间已形成了无固定期限的劳动合同关系，公司不得随意违反《劳动法》、《劳动合同法》等法律规定解除你的劳动关系，更不是公司老板个人意志随意说开除就开除的。用人单位解除劳动关系必须符合《劳动法》和《劳动合同法》规定的情形且需按法定程序进行才可。所以现在主要取决于你的态度是想在那继续工作还是不想再工作了，根据《劳动合同法》第四十八条的规定，你首先可以要求继续履行你们之间的无固定期限劳动合同关系，如果你不要求继续履行劳动关系的，则你有权要求公司按《劳动合同法》第八十七条规定支付双倍赔偿金而非指双倍经济补偿金，即按你工作一年补偿一个月工资，已满六个月不满一年的按一个月工资计算，不满六个月的按半个月工资算，你自2010年12月至今共工作了1年零四个月，也就是1个半月工资，计算赔偿金是按双倍计算的，即你可要求3个月工资的赔偿金。另外，你这种情况不适用代通知金的补偿问题，代通知金仅适用于《劳动合同法》第四十条规定的三种法定情况下才适用。
    附：有关法律依据
    《劳动合同法》第四十八条　用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。
    第八十七条　用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
    第四十条　有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同：
    （一）劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；
    （二）劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；
    （三）劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。
    四、再再次，公司不为你缴纳社会保险违反《劳动法》《劳动合同法》《社会保险法》等法律规定，你有权要求公司为你补缴。
    社会保险不同于商业保险，缴纳社会保险是用人单位的法定义务，而商业保险并非国家强制，凭企业自愿。案情所说的意外险是指商业险而非社会强制险，公司老板仅依据你的合理化要求而开除你是严重违法的，并不能因此而剥夺你要求公司补缴社会保险的权利，你完全可以要求公司补缴。
    五、最后，关于维权方式
    1、总体上，首先协商解决，协商解决建议通过人证、录音等方式固定证据；如协商解决不成，可向公司所在地的劳动监察部门投诉，也可直接向人力资源和劳动争议仲裁委员会申请仲裁解决。
    2、在要求继续履行劳动关系的情况下可以要求：继续履行劳动合同关系并要求签订无固定期限劳动合同、8个月或11个月的双倍工资（原因见前）、补缴社会保险（注：因单位未缴社保而造成你无法缴纳的可要求补偿，见最高法院关于适用《劳动法》的司法解释三第一条）；
    在不要求继续履行劳动关系情况下可以要求：要求单位出具书面的开除决定、支付8个月或11个月双倍工资、两倍经济赔偿金，补缴或者要求社保补偿。
    3、另外，单位未给你出具书面解除劳动关系或者开除的决定或通知等，你视为劳动关系并未解除，你可继续去上班，要求发工资，不上班的，要求基本生活费用。
    4、希望你勇敢维权。祝你成功。
    还有疑问，欢迎追问。