这种情况在实践中存在争议，不同的法院或法官可能会有不同的处理。对于你说的情况，一种观点认为应当给予第二个月双倍工资；另外一种观点则认为不需要支付双倍工资。不过，你可以向劳动争议仲裁委员会申请一下劳动仲裁也无妨。劳动仲裁是不收费的。