可以申请劳动仲裁。

属于违法辞退，你有权要求继续上班或赔偿金。赔偿金为2倍的经济补偿，经济补偿按工作时间每满一年支付本人一个月工资。
有权要求双倍工资。

公司想辞退，就是不想续签，你没有责任。

公司辞退员工这块与你的业务之间应该没有直接关系，但若合同期满一个月后没有签订书面合同，应该属于单位的问题，可能成为员工维权的借口。

你不需要承担责任。其实是否续签对于公司辞退员工所产生的后果是一样的。