如果对方没有非常恶意的污辱情节，对方不应当承担责任

如果对方有过错，且与其自杀有直接的因果关系，才能承担责任。

这要看具体吵架的情形及与自杀的关系来确定。

如果能证明，吵架和老人上吊具有因果关系，以及对方对有过错，是可以要求对方承担法律责任的。