可以要求单位签订无固定期限的劳动合同，同时可以要求支付未签劳动合同的双倍工资

你好，虽然我不是你要找的唐律师，但我简单说几句：
1、劳动合同的签订主体应当是你与该苏州公司，而非项目经理。所以请再回去看看该聘用合同是否加盖了苏州公司的章。
2、如果明确了该聘用合同是你与公司签订的，那么需要看该聘用合同是否具备劳动合同的几个条款，如用人单位的名称、住所和法定代表人或者主要负责人；劳动者的姓名、住址和居民身份证或者其他有效身份证件号码；劳动合同期限；工作内容和工作地点；工作时间和休息休假；劳动报酬；社会保险；劳动保护、劳动条件和职业危害防护；法律、法规规定应当纳入劳动合同的其他事项。
如果以上欠缺的话，可能意味着不存在劳动合同，可提供相关证据证明你们之间存在劳动关系，要求其支付未签订劳动合同的双倍工资等。
因你的情况还有模糊之处，故建议看清聘用合同、了解全面以后再咨询。

向劳动监察部门投.诉或申请劳动仲裁，要求双倍工资，你已是无固定期限劳动合同工