可以补签合同，签订合同后，不能要求支付双倍工资。

我个人认为应当属于继续履行

分两部分来讲，第一，按照《劳动合同法》的规定：第十条　建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。

    已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。

    用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。

显然，对于这段时间因为没有书面合同是可以要求支付双倍工资的。但是不能超过一年。
其次，我们分析没有签订的情况下，你们现在的关系是属于事实劳动关系，你们用自己的行为执行原来的合同，各种条件是一样的，唯一的不同是对劳动期限没有约定，如果你们这样的持续时间超过一年的话，相当于签订了无固定期限合同。
第三、补签合同（日期是现在）和双倍支付工资不矛盾。两个是可以并存的。

没签合同的期间可以主张双倍工资。

建议当面咨询律师。 

以主张原合同到期一个月后至新合同签订日之前的工作期间的双倍工资，注：新合同的签订日期距离原合同终止日期不超过一年的可以要求双倍工资，超过一年的部分不能要求双倍工资，但是可以要求签订无固定期限合同。 

可主张双倍赔偿，但恐怕会失去工作。