你们之间不存在婚姻关系，就子女抚养问题可以向法院起诉，根据你说的情况，法院一般是把孩子判决给你抚养，由男方支付抚养费。
至于你说不跟男方在一起了，是没有额外的赔偿的。

你们没有结婚证，属于非法同居关系，可以随时分开。孩子应当根据双方的抚养和教育能力来判定与谁一起生活。不与孩子一起生活的一方当然要付抚养费的。如果无力支付，就先由有能力的一方抚养。如果你有能力抚养，且有利于孩子成长的，法院很可能会判给你的。剖腹产的费用在你们一起共同生活期间已经支付过了，但如果男方愿意给予你一定的补偿，法律是不禁止的。

不付的话，很难执行到你的财产

你们的无证婚姻不受法律保护，可自行分开。
双方都有抚养小孩子的法定义务和权利，先行协商，协商不成的，到法院起诉，由法院判决。