应该是婚前财产。

法律规定：一方婚前以个人财产买房，结婚前已还清全部贷款，但结婚后方取得房产证并登记在自己名下的，仍应认定为夫妻一方的个人财产，另一方无权要求分割。

因为是婚后取得房产证，所以不属于婚前财产。但是房屋由男方全额出资且登记在其名下属于男方个人财产。

这是你儿子婚前个人财产，丈母娘理解错误；
如果同意加名，就成了共同财产。

是属于你儿子的个人财产。

应该按购房时间和购房款来源来判断房屋共有的性质。该房屋是你儿子的个人财产，不需要加名。如果真的加名了，就会变成夫妻共有财产。