要具体分析情况

若员工从08年后已签订2次有固定期限的劳动合同或员工已经在公司连续工作了10年，员工可以要求公司签订无固定期限的劳动合同
员工可以要求公司与你签订无固定期限的劳动合同，若公司不签订，应赔偿员工，每工作一年支付2个月工资。
员工一定要在合同到期前提出与公司签订无固定期限合同，不然合同到期后，就无权要求了，曾多次处理这种情况。
若现在已经签订固定合同，则在固定合同期间，无法要求与公司改签订无固定劳动合同，但可以在固定合同期满后，要求与公司签订无固定期限劳动合同，公司则应当与你签订。
从专业人员的角度来看，无固定期限劳动合同跟有期限的合同，就是合同没有明确终止的时间，其他没有区别。若员工有严重违反用人单位的规章制度的；严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的等情况，公司不能解除与员工的关系等行为，公司仍有权解除合同，不用赔偿的。

可以要求双倍工资

要看公司是不是违法解除，如果是违法解除才赔偿2个月工资，如果符合合同法解除只赔偿1个月