用人单位应当自事故发生之日起一个月内申报工伤；被害人可在工伤事故发生之日起一年内申报工伤。但前提是先要证明双方系劳动关系。

当然可以，劳动者提出工伤鉴定的时间是12个月，没有书面的劳动合同并没有关系，如果单位不承认的话，工资单，合影的照片，以及单位给你的其他的东西可以证明你和单位由劳动关系的东西都是可以的，你的权利不会因为没有书面的劳动合同而得不到保护的。反而单位是要对你进行赔偿的。
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