是你爷爷的名字就可以。

转为私产就有权利继承

既然是你爷爷的公房，那么你爸爸和你大爷都是合法继承人。你爸爸肯定有继承的份额，至于你大爷添钱的事情，你爸爸要按继承比例分担。