你可以拿车，你向保险公司索赔即可知道保险公司是否垫付了医药费。你的问题很多也比较复杂，在这里可能很难说得清楚，建议联系律师当面咨询。祝顺利！

一：可以要求拿车。
根据刑法第133条的规定，对交通肇事罪规定了三个不同的刑级（量刑档次）： 　　犯交通肇事罪的，处3年以下有期徒刑或者拘役。 交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处3年以上7年以下有期徒刑。 因逃逸致人死亡的，处7年以上有期徒刑、无期徒刑。
发生重大事故
　　1．违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处3年以下有期徒刑或者拘役。 　　此处所谓“发生重大事故”，根据《解释》第2条第1款规定，是指具有以下情形之一的： 　　（1）死亡一人或者重伤三人以上，负事故全部或者主要责任的； 解释》第2条第2款规定：交通肇事致一人以上重伤，负事故全部或者主要责任，并具有下列情形之一的，以交通肇事罪定罪处罚： 　　（1）酒后、吸食毒品后驾驶机动车辆的； 　　（2）无驾驶资格驾驶机动车辆的； 　　（3）明知是安全装置不全或者安全机件失灵的机动车辆而驾驶的； 　　（4）明知是无牌证或者已报废的机动车辆而驾驶的； 　　（5）严重超载驾驶的； 　　（6）为逃避法律追究逃离事故现场的。
重伤的鉴定是影响是否承担刑事责任（因为你说得比较简单，我才把上述可能的情形都列出）
二：对方可能构残，私了可能保险公司不会同意，最好是通过起诉的方式解决。
三：你说的保险齐全，说得太简略，交强险，车损险，商业险是否都有？
四：针对你不同的保险，要采取不同的方式解决，因为对方负有次要责任，你可以直接起诉对方，带动事情的解决，拖时间长对你不利，比如事情不解决，你的车辆年审过不了等等