这个问题我个人认为处理方式有两种：第一，直接要求肇事方赔偿，同时要求单位申报工伤，如果单位不给申报，你们可以自行申报；第二、如果交通事故案件得到了赔偿，你们就不需要再走工伤保险赔偿了，反之，不足部分，工伤赔偿。
是否构成工伤，我认为主要是看是否存在劳动关系。

1、如果双方是劳动合同关系，则应认定为工伤；2、如果是雇用关系，则环卫单位权应负补偿责任；3、如果是工伤的，可由家属申请。