如果幼儿园没有证据证明自己尽到管理、教育义务，幼儿园应当承担一定的责任；否则应当由小朋友的家长承担赔偿责任，一般是他的父母而不是他的爷爷。
这种情况如果经鉴定，构成伤残的话，损害赔偿一般包括医药费、护理费、伤残补助金及精神抚慰金。
参考//***.com/news/alfx/201304/show-12-6431-1.html

可以要求幼儿园和对方家长承担责任，具体与律师面谈。